Question

4．銷售甲、乙兩種商品所得利潤分別是P（萬元）和Q（萬元），它們與投入資金t（萬元）的關(guān)系有經(jīng)驗公式P=3$\sqrt{t}$，Q=t．今將3萬元資金投入經(jīng)營甲、乙兩種商品，其中對甲種商品投資x（萬元）．求：
（1）經(jīng)營甲、乙兩種商品的總利潤y（萬元）關(guān)于x的函數(shù)表達式；
（2）怎樣將資金分配給甲、乙兩種商品，能使得總利潤y達到最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）利潤函數(shù)為y=甲商品所得的利潤P+乙商品所得的利潤$y=3\sqrt{x}+（3-x）$，其中定義域為x∈[0，3]；
（2）$y=3\sqrt{x}+（3-x）=-{（\sqrt{x}-\frac{3}{2}）^2}+\frac{3}{4}$．由二次函數(shù)的性質(zhì)，得函數(shù)的最大值以及對應(yīng)的x值．

解答 解：（1）根據(jù)題意，得$y=3\sqrt{x}+（3-x）$，x∈[0，3]．…（5分）
（2）$y=3\sqrt{x}+（3-x）=-{（\sqrt{x}-\frac{3}{2}）^2}+\frac{3}{4}$．
∵$\frac{3}{2}$∈[0，3]，∴當(dāng)$\sqrt{x}$=$\frac{3}{2}$時，即x=$\frac{9}{4}$，3-x=$\frac{3}{4}$時，${y_{max}}=\frac{3}{4}$．
即給甲、乙兩種商品分別投資$\frac{9}{4}$萬元、$\frac{3}{4}$萬元可使總利潤達到最大值$\frac{3}{4}$萬元．…（12分）

點評 本題考查了可化為二次函數(shù)模型的根式函數(shù)的應(yīng)用，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題．