Question

設(shè)函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）已知，若函數(shù)的圖象總在直線的下方，求的取值范圍；

（Ⅲ）記為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若，試問(wèn)：在區(qū)間上是否存在（）個(gè)正數(shù)…，使得成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，，

所以切線的斜率為.…………………………………………2分

      又，所以切點(diǎn)為.

      故所求的切線方程為：即.………………………………4分

（Ⅱ），，.………………………6分

令，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

故為函數(shù)的唯一極大值點(diǎn)，所以的最大值為=.8分

由題意有，解得. 所以的取值范圍為.……………………10分

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，.     記，其中.

∵當(dāng)時(shí)，，∴在上為增函數(shù)，

即在上為增函數(shù). …………………………………………12分

又，所以，對(duì)任意的，總有.

所以，

又因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2015/04/04/04/2015040404174834396912.files/image121.gif'>，所以.故在區(qū)間上不存在使得成立的（）個(gè)正數(shù)…. …………14分