Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-ax+a（x∈R）同時(shí)滿足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一個(gè)元素；②在定義域內(nèi)存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=f（n）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）在各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{c_n}中，若ci•ci+1＜0，則稱ci，ci+1為這個(gè)數(shù)列{c_n}一對(duì)變號(hào)項(xiàng)．令cn=1-

a

an

（n為正整數(shù)），求數(shù)列{c_n}的變號(hào)項(xiàng)的對(duì)數(shù)．

Answer 1

（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一個(gè)元素，
∴△=a²-4a=0?a=0或a=4，
當(dāng)a=4時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-4x+4在（0，2）上遞減，
故存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=x²在（0，+∞）上遞增，
故不存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
綜上：a=4，f（x）=x²-4x+4．
（2）由（1）可知：Sn=n²-4n+4．當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=（n²-4n+4）-[（n-1）2-4（n-1）+4]=2n-5，
∴an=

1n=1 2n-5n≥2

（3）法一：由題設(shè)cn=

-3n=1 1- 4 2n-5 n≥2

，
∵當(dāng)n≥2時(shí)，cn+1-cn=

4

2n-5

-

4

2n-3

=

8

(2n-5)(2n-3)

，
∴當(dāng)n≥3時(shí)，數(shù)列{cn}遞增，∵c3=-3＜0，又由cn=1-

4

2n-5

≥0，得n≥5，
可知c4•c5＜0，即n≥3時(shí)，有且只有一對(duì)變號(hào)項(xiàng)，
又∵c1=-3，c2=5，c3=-3，即c1•c2＜0，c2•c3＜0，∴此處有2對(duì)變號(hào)項(xiàng)．
綜上可得：數(shù)列{cn}的變號(hào)項(xiàng)有3對(duì)．
法二：當(dāng)i≥2時(shí)，ci=1-

4

2i-5

=

2i-9

2i-5

，
∵ci•ci+1＜0，∴

2i-9

2i-5

•

2i-7

2i-3

＜0，
∴

3

2

＜i＜

5

2

或

7

2

＜i＜

9

2

，∵i≥2，i∈N*，∴i=2或4，
即c2•c3＜0，c4•c5＜0，此處有2對(duì)變號(hào)項(xiàng)，
又∵c1=-3，c2=5，即c1•c2＜0，此處有一對(duì)變號(hào)項(xiàng)，
綜上可得：數(shù)列{cn}的共有3對(duì)變號(hào)項(xiàng)．