Question

（本小題滿分12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB//CD,∠ABC=60°,AB=2CB=2.在梯形ACEF中，EF//AC，且平面ABCD.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若二面角為45°，求CE的長.

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）．

【解析】

試題分析：（1）證明線線垂直時，要注意題中隱含的垂直關(guān)系，如等腰三角形的底邊上的高，中線和頂角的角平分線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形等等；證明線線垂直常通過線面垂直；（2）利用已知的線面垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.（4）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運算，應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識形體特征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實施幾何問題代數(shù)化.同時注意兩點：一是正確寫出點、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理條件要完備.

試題解析：（Ⅰ）證明：在中,，

所以,由勾股定理知所以 . 2分

又因為 ⊥平面，平面，所以 ． 4分

又因為 所以 ⊥平面，又平面

所以 . 6分

（Ⅱ）因為⊥平面，又由（Ⅰ）知，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 .

設(shè)，則,,，,，. 8分

設(shè)平面的法向量為，則 所以，令.所以. 9分

又平面的法向量 10分

所以， 解得 . 11分

所以的長為. 12分

考點：線線垂直及求線段的長