Question

3．已知函數(shù)y=（$\frac{1}{2}$）^x2-4x+1，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域．

Answer 1

分析 原函數(shù)是內(nèi)函數(shù)t=x²-4x+1與外函數(shù)g（t）=$（\frac{1}{2}）^{t}$的復(fù)合函數(shù)，求出內(nèi)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再利用配方法求出t的范圍，代入外函數(shù)可得原函數(shù)的值域．

解答 解：令t=x²-4x+1，
則原函數(shù)化為g（t）=$（\frac{1}{2}）^{t}$，
內(nèi)函數(shù)t=x²-4x+1的減區(qū)間（-∞，2]，增區(qū)間為（2，+∞），
而外函數(shù)g（t）=$（\frac{1}{2}）^{t}$為減函數(shù)，
∴原復(fù)合函數(shù)的增區(qū)間為（-∞，2]，減區(qū)間為（2，+∞）；
又t=x²-4x+1=（x-2）²-3≥-3，
∴g（t）=$（\frac{1}{2}）^{t}$∈（0，$（\frac{1}{2}）^{-3}$]=（0，8]．
∴函數(shù)y=（$\frac{1}{2}$）^x2-4x+1的值域為（0，8]．

點評 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合的兩個函數(shù)同增則增，同減則減，一增一減則減，注意函數(shù)的定義域是求解的前提，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，是中檔題．