Question

（本小題滿分16分）

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，圓C：，點(diǎn)F（1，0），E是圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF的垂直平分線PQ與CE交于點(diǎn)B，與EF交于點(diǎn)D。

（１）  求點(diǎn)B的軌跡方程；

（２）  當(dāng)D位于ｙ軸的正半軸上時(shí)，求直線PQ的方程；

（３）  若G是圓上的另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足FG⊥FE。記線段EG的中點(diǎn)為M，試判斷線段OM的長度是否為定值？若是，求出該定值;若不是，說明理由。

 

 

Answer 1

【答案】

(1)； ⑵直線的方程為．

⑶點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為定值，且定值為．

【解析】本試題主要是考查了運(yùn)用橢圓的定義求解曲線的軌跡方程的問題，以及直線方程的求解。和兩點(diǎn)之間距離的表示等知識(shí)的綜合運(yùn)用。

（1）根據(jù)已知條件分析動(dòng)點(diǎn)滿足的關(guān)系式，會(huì)發(fā)現(xiàn)，其符合橢圓的定義，得到其軌跡方程。

（2）當(dāng)點(diǎn)D位于y軸的正半軸上時(shí)，因?yàn)閐是線段EF的中點(diǎn)，O為線段CF的中點(diǎn)，

所以CE∥OD，且CE=2DO，

所以E,D的坐標(biāo)分別為(-1,4)和(0,2),再結(jié)合中垂線方程得到直線的方程。

（3）利用圓的方程和中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出兩點(diǎn)之間的距離，得到為定值。

(1)由已知，所以，

    所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長軸為4的橢圓，

所以點(diǎn)的軌跡方程為；   ……………………………………………4分

  ⑵當(dāng)點(diǎn)位于軸的正半軸上時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415011645182887/SYS201208241501445975822375_DA.files/image012.png">是線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，

所以∥，且，

所以的坐標(biāo)分別為和，   ………………………………………7分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415011645182887/SYS201208241501445975822375_DA.files/image002.png">是線段的垂直平分線，所以直線的方程為，

即直線的方程為．         ……………………………………10分

⑶設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

因?yàn)辄c(diǎn)均在圓上，且，

所以       　 ①

       　 ②

     ③     …………………………………………13分

所以，，．

所以

，

即點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為定值，且定值為．………………………………16分