Question

14．已知函數(shù)f（x）=-x+log₂$\frac{1-x}{1+x}$．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）當(dāng)x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]時(shí)，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，可得$\frac{1-x}{1+x}$＞0，解不等式即可得到所求定義域；
（2）運(yùn)用單調(diào)性的性質(zhì)可得f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上遞減，計(jì)算即可得到所求的最大值．

解答 解：（1）由$\frac{1-x}{1+x}$＞0，可得-1＜x＜1，
即有f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）；
（2）由y=-x在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上遞減，
y=log₂$\frac{1-x}{1+x}$=log₂（$\frac{2}{x+1}$-1）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上遞減，
可得f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上遞減，
則x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）取得最大值，
且為$\frac{1}{2}$+log₂$\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}$+log₂3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的定義域的求法和最值的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用和分式不等式的解法，屬于中檔題．