Question

已知方程

|cos(x- π 2 )|

x

=k在（0，+∞）上有兩個(gè)不同的解a，b（a＜b），則下面結(jié)論正確的是（　�。�

• A、sina=acosb
• B、sina=-acosb
• C、cosa=bsinb
• D、sinb=-bsina

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=|sinx|和函數(shù)y=kx在（0，+∞）上有兩個(gè)交點(diǎn)，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，導(dǎo)數(shù)法求切線可得．

解答： 解：∵方程

|cos(x- π 2 )|

x

=k有兩不同的解a，b，
∴方程

|sinx|

x

=k有兩不同的解a，b，
∴函數(shù)y=|sinx|和函數(shù)y=kx在（0，+∞）上有兩個(gè)交點(diǎn)，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，

函數(shù)y=|sinx|和函數(shù)y=kx在（0，π）上有一個(gè)交點(diǎn)A（a，sina），
在（π，2π）上有一個(gè)切點(diǎn)B（b，sinb）時(shí)滿足題意，a，b是方程的根．
當(dāng)x∈（π，2π）時(shí)，f（x）=|sinx|=-sinx，f′（x）=-cosx，
∴在B處的切線為y-sinb=f′（b）（x-b），將x=0，y=0代入方程，得sinb=-bcosb，
∴

sinb

b

=-cosb，∵O，A B三點(diǎn)共線，∴

-sina

a

=

-sinb

b

，
∴

sina

a

=-cosb，∴sina=-acosb．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)圖象考查方程的根，函數(shù)的零點(diǎn)，以及導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵，屬中檔題．