已知雙曲線的中心在原點,焦點F1,F2在坐標(biāo)軸上,離心率為,且過點(4,-).
(1)求雙曲線方程;
(2)若點M(3,m)在雙曲線上,求證:·=0;
(3)求△F1MF2的面積.
[分析] 由離心率為可看出它是等軸雙曲線;從此隱含條件入手,可使運算變得簡單.
[解析] (1)∵e=,∴可設(shè)雙曲線方程為x2-y2=λ(λ≠0).
∵過(4,-)點,∴16-10=λ,即λ=6,
∴雙曲線方程為x2-y2=6.
(2)證法1:由(1)可知,雙曲線中a=b=,
∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),
∵點(3,m)在雙曲線上,∴9-m2=6,m2=3.
故kMF1·kMF2=-1,∴⊥.∴·=0.
證法2:∵=(-3-2,-m),=(2-3,-m),
∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2,
∵M點在雙曲線上,∴9-m2=6,即m2-3=0,
∴·=0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|=4,
△F1MF2的高h=|m|=,∴S△F1MF2=6.
[點評] 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)中涉及很多基本量,如“a,b,c,e”等,樹立基本量思想對于確定雙曲線方程和認(rèn)識其幾何性質(zhì)有很大幫助.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
設(shè)函數(shù)f(x)=ax-,曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)證明:曲線y=f(x)上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值,并求此定值.
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