Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（x²+ax-a+1），其中a是常數(shù)．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若f（x）在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，求出切點(diǎn)和切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程，即可得到切線方程；
（2）由（1）求得的導(dǎo)數(shù)，若f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，則f′（x）≥0恒成立，運(yùn)用判別式不大于0，即可得到；

解答： 解：（1）由f（x）=e^x（x²+ax-a+1）可得f′（x）=e^x[x²+（a+2）x+1]．
當(dāng)a=1時(shí)，f（1）=2e，f′（1）=5e
故曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-2e=5e（x-1），
即5ex-y-3e=0；
（2）由（1）知f′（x）=e^x[x²+（a+2）x+1]，
若f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，則f′（x）≥0恒成立，
即x²+（a+2）x+1≥0恒成立，
∴△=（a+2）²-4≤0，-4≤a≤0，
故a的取值范圍為[-4，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．