Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，EF∥BC，AE = x，G是BC的中點(diǎn)。沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF (如圖) .

(1) 當(dāng)x=2時(shí)，求證：BD⊥EG ；
(2) 若以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為f(x)，求f(x)的最大值；
(3) 當(dāng)f(x)取得最大值時(shí)，求二面角D-BF-C的余弦值.

Answer 1

（1）參考解析；（2）；－

解析試題分析：（1）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系.寫出相應(yīng)的坐標(biāo)，再寫出BD向量和EG向量.從而計(jì)算這兩向量的數(shù)量積.即可得兩直線垂直.本小題也可以通過(guò)轉(zhuǎn)化為線面垂直來(lái)證明.
（2）以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積是以三角形BFC為底面，三棱錐的高為x.由三棱錐體積可得f(x).在通過(guò)求二次函數(shù)的最值即可結(jié)論.
（3）由（2）可得x=2.求二面角關(guān)鍵是求出兩個(gè)平面的法向量.由于平面BFC的法向量可以是向量EA.另外平面DBF的法向量要通過(guò)法向量的計(jì)算方法可求得.再由兩法向量求出向量夾角的余弦值.再通過(guò)圖形的判斷二面角的大小來(lái)判斷是鈍角還是銳角在確定余弦值的正負(fù).本小題也可以作出二面角的平面角.通過(guò)計(jì)算求得余弦值.
試題解析：（1）（法一）∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如圖建立空間坐標(biāo)系E-xyz。                 1分
則A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）    2分
（－2，2，2），（2，2，0）                   3分
（－2，2，2）（2，2，0）＝0，∴            4分

（法二）作DH⊥EF于H，連BH，GH，     1分
由平面平面知：DH⊥平面EBCF，
而EG平面EBCF，故EG⊥DH。
又四邊形BGHE為正方形，∴EG⊥BH，
BHDH＝H，故EG⊥平面DBH，       3分
而BD平面DBH，∴ EG⊥BD。       4分
（或者直接利用三垂線定理得出結(jié)果）

（2）∵AD∥面BFC，
所以 V_A-BFC＝＝4(4-x)x
                           7分
即時(shí)有最大值為.                      8分
（3）（法一）設(shè)平面DBF的法向量為，∵AE="2," B（2，0，0），D（0，2，2），
F（0，3，0）,∴（－2，2，2）,            9分
則 ，
即，
取x＝3，則y＝2，z＝1，∴ 
面BCF的一個(gè)法向量為                   12分
則cos<>=                  14分
由于所求二面角D-BF-C的平面角為鈍角，所以此二面角的余弦值為－
（法二）作DH⊥EF于H，作HM⊥BF，連DM。
由三垂線定理知 BF⊥DM，∴∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的補(bǔ)角。          9分
由△HMF∽△EBF，知，而HF=1，BE=2，，∴HM＝。
又DH＝2，
∴在Rt△HMD中，tan∠DMH=-，
因∠DMH為銳角，∴cos∠DMH＝，             13分
而∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的補(bǔ)角，
故二面角D-BF-C的余弦值為－.

考點(diǎn)：1.線線垂直.2.體積問(wèn)題.3.二面角求解.4.空間坐標(biāo)系解決立幾知識(shí).5.立幾中純推理的應(yīng)用.