【題目】已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x),且對(duì)任意x>0,都有f′(x)>.

(1)判斷函數(shù)F(x)=在(0,+∞)上的單調(diào)性;

(2)設(shè)x1,x2∈(0,+∞),證明:f(x1)+f(x2)<f(x1x2);

(3)請(qǐng)將(2)中結(jié)論推廣到一般形式,并證明你所推廣的結(jié)論.

【答案】(1) 見解析;(2) 見解析;(3) 見解析.

【解析】試題分析:()判斷F(x)的單調(diào)性,則需對(duì)F(x)求導(dǎo),得F′(x),f ′(x),x0,則xf ′(x)f(x)0,即F′(x)0,F(x)(0,+∞)上是增函數(shù).)要證明f(x1)f(x2)f(x1x2),可以從第()的結(jié)論入手,x10,x200x1x1x2,F(x)(0,+∞)上是增函數(shù),則F(x1)F(x1x2),即,而x10,所以f(x1)f(x1x2),同理f(x2)f(x1x2),兩式相加,得f(x1)f(x2)f(x1x2),得證.)()中結(jié)論的推廣形式為:設(shè)x1,x2,,xn(0,+∞),其中n≥2,則f(x1)f(x2)f(xn)f(x1x2xn).證明的方法同()的證明,x10,x20,,xn0,0x1x1x2xnF(x)(0,+∞)上是增函數(shù),F(x1)F(x1x2xn),即,而x10,所以f(x1)f(x1x2xn),同理f(x2)f(x1x2xn)……

f(xn)f(x1x2xn),以上n個(gè)不等式相加,得f(x1)f(x2)f(xn)f(x1x2xn),得證.

試題解析:()對(duì)F(x)求導(dǎo)數(shù),得F′(x)

f ′(x),x0,xf ′(x)f(x),即xf ′(x)f(x)0,

∴F′(x)0

F(x)(0,+∞)上是增函數(shù).

∵x10,x20∴0x1x1x2

由(),知F(x)(0,+∞)上是增函數(shù),

F(x1)F(x1x2),即

x10,f(x1)f(x1x2)

同理可得f(x2)f(x1x2)

以上兩式相加,得f(x1)f(x2)f(x1x2)

)()中結(jié)論的推廣形式為:

設(shè)x1,x2,xn∈(0,+∞),其中n≥2,則f(x1)f(x2)f(xn)f(x1x2xn)

∵x10,x20,xn0

∴0x1x1x2xn

由(),知F(x)(0,+∞)上是增函數(shù),

F(x1)F(x1x2xn),即

∵x10

f(x1)f(x1x2xn)

同理可得

f(x2)f(x1x2xn),

f(x3)f(x1x2xn)

……

f(xn)f(x1x2xn)

以上n個(gè)不等式相加,得f(x1)f(x2)f(xn)f(x1x2xn)

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【題目】如圖,在四棱錐中,底面為梯形,平面平面

為側(cè)棱的中點(diǎn),且.

(1)證明: 平面

(2)求二面角的余弦值.

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【題目】質(zhì)檢部門對(duì)某工廠甲、乙兩個(gè)車間生產(chǎn)的12個(gè)零件質(zhì)量進(jìn)行檢測(cè).甲、乙兩個(gè)車間的零件質(zhì)量(單位:克)分布的莖葉圖如圖所示.零件質(zhì)量不超過20克的為合格.

(1)從甲、乙兩車間分別隨機(jī)抽取2個(gè)零件,求甲車間至少一個(gè)零件合格且乙車間至少一個(gè)零件合格的概率;

(2)質(zhì)檢部門從甲車間8個(gè)零件中隨機(jī)抽取4件進(jìn)行檢測(cè),若至少2件合格,檢測(cè)即可通過,若至少3 件合格,檢測(cè)即為良好,求甲車間在這次檢測(cè)通過的條件下,獲得檢測(cè)良好的概率;

(3)若從甲、乙兩車間12個(gè)零件中隨機(jī)抽取2個(gè)零件,用表示乙車間的零件個(gè)數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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【題目】某公司為了準(zhǔn)確把握市場(chǎng),做好產(chǎn)品計(jì)劃,特對(duì)某產(chǎn)品做了市場(chǎng)調(diào)查:先銷售該產(chǎn)品50天,統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)每天的銷售量分布在內(nèi),且銷售量的分布頻率

.

(Ⅰ)求的值.

(Ⅱ)若銷售量大于等于80,則稱該日暢銷,其余為滯銷,根據(jù)是否暢銷從這50天中用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取5天,再?gòu)倪@5天中隨機(jī)抽取2天,求這2天中恰有1天是暢銷日的概率(將頻率視為概率).

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【題目】已知不等式|y4||y|2x對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都成立,則常數(shù)a的最小值為(  )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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【題目】如圖所示,已知兩個(gè)正方形ABCDDCEF不在同一平面內(nèi),MN分別為AB,DF的中點(diǎn).

(1)若平面ABCD⊥平面DCEF,求直線MN與平面DCEF所成角的正弦值;

(2)用反證法證明:直線MEBN是兩條異面直線.

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【題目】已知橢圓Ea﹥b﹥0)的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)在橢圓E.

)求橢圓E的方程;

)設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)AB,線段AB的中點(diǎn)為M,直線OM與橢圓E交于CD,證明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

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A. ①② B. ①③

C. ②④ D. ①④

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(I)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

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