試題分析:本題主要以四棱錐為幾何背景考查線面垂直、面面垂直、向量法、線面角、四棱錐的體積等基礎知識,考查空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力.第一問,利用線面垂直的性質(zhì)得PA⊥BD,又因為BD⊥PC,利用線面垂直的判定得到BD⊥平面PAC,最后利用面面垂直的判定得到平面PAC⊥平面EBD;第二問,由于BD⊥平面PAC,所以
BD⊥
AC,得到ABCD為菱形,根據(jù)垂直關系建立空間直角坐標系,得到相關的的坐標,從而得到相關向量的坐標,用向量法求出平面EBD的一個法向量,再利用夾角公式列出等式,在
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中,列出一個等式,2個等式聯(lián)立,解出b和c的值,得到b和c即OB和OC邊長后,即可求出面ABCD的面積,而PA是錐體的高,利用錐體的體積公式
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求出四棱錐的體積.
試題解析:(1)因為
PA⊥平面
ABCD,所以
PA⊥
BD.
又
BD⊥
PC,所以
BD⊥平面
PAC,
因為
BDÌ平面
EBD,所以平面
PAC⊥平面
EBD. 4分
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(2)由(1)可知,
BD⊥
AC,所以
ABCD是菱形,
BC=
AB=2. 5分
設
AC∩
BD=
O,建立如圖所示的坐標系
O-
xyz,設
OB=
b,
OC=
c,
則
P(0,-
c,2),
B(
b,0,0),
E(0,-
c,1),
C(0,
c,0).
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,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043920882674.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043920898699.png)
.
設
n=(
x,
y,
z)是面
EBD的一個法向量,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043920914742.png)
,
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043921023868.png)
取
n=(0,1,
c). 8分
依題意,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043921038774.png)
. ①
記直線
PB與平面EBD所成的角為
θ,由已知條件
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240439210541817.png)
. ②
解得
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,
c=1. 10分
所以四棱錐
P-
ABCD的體積
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240439210851626.png)
. 12分