Question

已知圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且與直線(xiàn)相切，圓心M的軌跡為曲線(xiàn)w．
①求w的方程
②若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)w交與PQ兩點(diǎn)，PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求線(xiàn)段 PQ的長(zhǎng)度．

Answer 1

解：（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)M作MN垂直直線(xiàn)線(xiàn)于N．
依題意得|MN|=|AM|
所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為是以A（，0）為焦點(diǎn)，直線(xiàn)x=-為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，
即曲線(xiàn)W的方程是y²=6x
（Ⅱ）依題意，直線(xiàn)l₁，l₂的斜率存在且不為0，
設(shè)直線(xiàn)l的方程為x=ky+，化簡(jiǎn)得y²-6ky-9=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=5
∴|PQ|=|PA|+|AQ|=+x₂=x₁+x₂+3=8
分析：（1）由題意可知，動(dòng)圓到定點(diǎn)的距離與到定直線(xiàn)的距離相等，其軌跡為拋物線(xiàn)，寫(xiě)出其方程．
（2）設(shè)出l的方程x=ky+，聯(lián)立l和拋物線(xiàn)的方程，由已知中點(diǎn)的橫坐標(biāo)可求x₁+x₂，而由拋物線(xiàn)的定義可得，|PQ|=|PA|+|AQ|=x₁+x₂+3可求
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線(xiàn)的定義在拋物線(xiàn)的方程求解中的應(yīng)用，拋物線(xiàn)的定義在求解弦長(zhǎng)中的應(yīng)用．