(本題滿分12分)已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,以原點為圓點,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切。
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)設P(4,0),A,B是橢圓C上關于x軸對稱的任意兩個不同的點,連接PB交隨圓C于另一點E,證明直線AE與x軸相交于定點Q.
(Ⅰ)=1. (Ⅱ)直線AE與x軸相交于定點Q(1,0)。
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為得到a,c的比值,以原點為圓點,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切。那么利用線與圓相切,利用點到直線的距離公式得到圓的半徑。求解得到結論。
(2)由題意知直線PB的斜率存在,設直線PB的方程為y=k(x-4).與橢圓方程聯(lián)立,然后結合韋達定理,得到k的表達式,進而得到交點定點的坐標。
解:(Ⅰ)由題意知e==,所以e2===.即a2=b2.
又因為b==,所以a2=4,b2=3.故橢圓的方程為=1.…4分
(Ⅱ)由題意知直線PB的斜率存在,設直線PB的方程為y=k(x-4).
由,得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0. ①…6分
設點B(x1,y1),E(x2,y2),則A(x1,-y1).直線AE的方程為y-y2=(x-x2).令y=0,得x=x2-.將y1=k(x1-4),y2=k(x2-4)代入,
整理,得x=. ②…8分
由①得x1+x2=,x1x2=…10分 代入②整理,得x=1.
所以直線AE與x軸相交于定點Q(1,0).……12分
考點:本題主要考查直線與橢圓的位置關系的運用。
點評:解決該試題的關鍵是熟練的運用橢圓的幾何性質(zhì)得到其橢圓的方程,以及聯(lián)立方程組的思想,結合韋達定理得到k的值,求解得到定點。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
π | 2 |
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科目:高中數(shù)學 來源:安徽省合肥一中、六中、一六八中學2010-2011學年高二下學期期末聯(lián)考數(shù)學(理 題型:解答題
(本題滿分12分)已知△的三個內(nèi)角、、所對的邊分別為、、.,且.(1)求的大;(2)若.求.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011屆本溪縣高二暑期補課階段考試數(shù)學卷 題型:解答題
(本題滿分12分)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列,
的等比中項。
(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)若的前n項和為Tn,求Tn。
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年廣東省揭陽市高三調(diào)研檢測數(shù)學理卷 題型:解答題
(本題滿分12分)
已知橢圓:的長軸長是短軸長的倍,,是它的左,右焦點.
(1)若,且,,求、的坐標;
(2)在(1)的條件下,過動點作以為圓心、以1為半徑的圓的切線(是切點),且使,求動點的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學 來源:2010年遼寧省高二上學期10月月考理科數(shù)學卷 題型:解答題
(本題滿分12分)已知橢圓的長軸,短軸端點分別是A,B,從橢圓上一點M向x軸作垂線,恰好通過橢圓的左焦點,向量與是共線向量
(1)求橢圓的離心率
(2)設Q是橢圓上任意一點,分別是左右焦點,求的取值范圍
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