Question

在四棱柱中，底面是等腰梯形，AB∥CD，AB=2，BC=CD=1，頂點(diǎn)D₁在底面ABCD內(nèi)的射影恰好為C，
求證：AD₁⊥BC，若DD₁與AB所成的角為60°，求面ABC₁D₁和面ABCD的余弦函數(shù)值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連結(jié)D₁C，則D₁C⊥BC，在等腰梯形ABCD中，連結(jié)AC，則BC⊥AC，從而BC⊥平面AD₁C，由此能證明AD₁⊥BC．
（2）由已知得∠D1DC=

π

3

，DC₁=

3

，在底面ABCD中，作CM⊥AB，連結(jié)D₁M，則∠D₁MC為平面ABC₁D₁與平面ABCD所角的一個(gè)平面角，由此能求出面ABC₁D₁和面ABCD的余弦函數(shù)值．

解答： （1）證明：連結(jié)D₁C，則D₁C⊥平面ABCD，
∵BC?平面ABCD，∴D₁C⊥BC，
在等腰梯形ABCD中，連結(jié)AC，
∵AB=2，BC=CD=1，AB∥CD，
∴BC⊥AC，又D₁C∩AC=C，
∴BC⊥平面AD₁C，
又AD₁?平面AD₁C，∴AD₁⊥BC．
（2）解：∵AB∥CD，∴∠D1DC=

π

3

，
∵CD=1，∴DC₁=

3

，
在底面ABCD中，作CM⊥AB，連結(jié)D₁M，
則D₁M⊥AB，∴∠D₁MC為平面ABC₁D₁與平面ABCD所角的一個(gè)平面角，
在Rt△D₁CM中，CM=

3

2

，D1C=

3

，
∴D₁M=

CM2+D1C2

=

15

2

，
∴cos∠D1CM=

5

5

，
∴面ABC₁D₁和面ABCD的余弦函數(shù)值為

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與平面、平面與平面之間的平行、垂直等位置關(guān)系，考查線線垂直、二面角的概念、求法等知識(shí)，考查空間想象能力和邏輯推理能力，是中檔題．