Question

已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的a，b∈R，，滿足f（a•b）=af（b）+bf（a），f(2)=2，an=

f(2n)

n

(n∈N*)，bn=

f(2n)

2n

(n∈N*)
考查下列結(jié)論：
（1）f（0）=f（1）；
（2）f（x）為偶函數(shù)；
（3）數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（4）

lim

n→∞

(1+

1

bn

)bn=e．
其中正確的是______．

Answer 1

對于（1），∵f（0）=f（0•0）=0，f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0，故（1）正確；
對于（2），∵f（1）=f[（-1）•（-1）]=-2f（-1），
∴f（-1）=0，f（-2）=f（-1×2）=-f（2）+2f（-1）=-2≠f（2），
故f（x）不是偶函數(shù)，故（2）錯；
對于（3），f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）=2f（2^n-1）+2ⁿ=…=n•2ⁿ，
∴b_n=n，，∴f（2ⁿ）=n×2ⁿ，∴a_n=2ⁿ
故數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，故（3）正確；
對于（4），b_n=n，

lim

n→∞

(1+

1

bn

)bn=

lim

n→∞

(1+

1

n

)n=e，故（4）正確．