Question

已知|

a

|=4，|

b

|=2，且

a

與

b

的夾角θ為60°，求
（1）（

a

-2

b

）•（

a

+3

b

）；
（2）

a

與

a

-

b

的夾角φ．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)量積的運(yùn)算可得，原式=|

a

|2+|

a

||

b

|cos60°-6|

b

|2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得；（2）由于cosφ=

a •( a - b )

| a || a - b |

，由模長(zhǎng)公式求得|

a

-

b

|，代入化簡(jiǎn)可得其值，由夾角的范圍可得答案．

解答：解：（1）原式=

a

2+3

a

•

b

-2

a

•

b

-6

b

2…（1分）
=

a

2+

a

•

b

-6

b

2…（2分）
=|

a

|2+|

a

||

b

|cos60°-6|

b

|2…（3分）
=16+4-24=-4…（4分）
（2）∵|

a

-

b

|=

( a - b )2

=

a 2-2 a • b + b 2

…（6分）
=

| a |2-2| a || b |cos60°+| b |2

…（7分）
=2

3

…（8分）
∴cosφ=

a •( a - b )

| a || a - b |

…（9分）
=

| a |2-| a || b |cosθ

| a || a - b |

…（10分）
=

3

2

…（11分）
又0°≤φ≤180°，∴φ=30°…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)量積表示向量的夾角，涉及模長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬中檔題．