Question

在平面直角坐標系xOy中，點B與點A（-1，1）關(guān)于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于-

1

3

．
（Ⅰ）求動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點M，N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)點P的坐標為（x，y），先分別求出直線AP與BP的斜率，再利用直線AP與BP的斜率之間的關(guān)系即可得到關(guān)系式，化簡后即為動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）對于存在性問題可先假設(shè)存在，由面積公式得：

1

2

|PA|•|PB|sin∠APB=

1

2

|PM|• |PN|sin∠MPN．根據(jù)角相等消去三角函數(shù)得比例式，最后得到關(guān)于點P的縱坐標的方程，解之即得．

解答：解：（Ⅰ）因為點B與A（-1，1）關(guān)于原點O對稱，所以點B得坐標為（1，-1）．
設(shè)點P的坐標為（x，y）

y-1

x+1

•

y+1

x-1

=-

1

3

化簡得x²+3y²=4（x≠±1）．
故動點P軌跡方程為x²+3y²=4（x≠±1）
（Ⅱ）解：若存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等，設(shè)點P的坐標為（x₀，y₀）
則

1

2

|PA|•|PB|sin∠APB=

1

2

|PM|• |PN|sin∠MPN．
因為sin∠APB=sin∠MPN，
所以

|PA|

|PM|

=

|PN|

|PB|

所以

|x0+1|

|3-x0|

=

|3-x0|

|x0-1|

即（3-x₀）²=|x₀²-1|，解得x0=

5

3

因為x₀²+3y₀²=4，所以y0=±

33

9

故存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等，此時點P的坐標為(

5

3

，±

33

9

)．

點評：本題主要考查了軌跡方程、三角形中的幾何計算等知識，屬于中檔題．