Question

己知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，A是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，若|AF₂|=2且∠F₁AF₂=45°．廷長(zhǎng)AF₂交雙曲線右支于點(diǎn)B，則△F₁AB及的面積等于    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)雙曲線的定義，得|AF₁|-|AF₂|=2a=2，△AF₁F₂中根據(jù)余弦定理算出，從而得到．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由直線AB方程與雙曲線方程聯(lián)解，算出|y₂|=（）y₁，得到△BF₁F₂與△AF₁F₂的面積之比等于，結(jié)合△AF₁F₂的面積為=2得到△BF₁F₂的面積等于4-2，再兩個(gè)三角形的面積相加，即可得到△F₁AB及的面積．
解答：解：如圖所示，由雙曲線的方程可知：a=1．
∴|AF₁|-|AF₂|=2，
∵|AF₂|=2，∴|AF₁|=4．
∴=（2c）²=4²+2²-2×4×2×cos45°，化為，
∴，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則，化為．
解得，（舍去）．
由此解出A的坐標(biāo)為（，），
設(shè)直線AB方程為x=my+c，與雙曲線聯(lián)解，可得
由根與系數(shù)的關(guān)系，得到，結(jié)合y₁=化簡(jiǎn)得到|y₂|=（）y₁
∴==
∵雙曲線中，△AF₁F₂的面積S===2
∴△BF₁F₂的面積S=（）S=4-2
由此可得△F₁AB及的面積S=S+S=4
故答案為：4
點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線的焦點(diǎn)三角形△AF₁F₂的兩邊之長(zhǎng)和夾角，求△F₁AB及的面積．著重考查了雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線位置關(guān)系和三角形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．