Question

已知AB是拋物線y²=2Px的任意一條焦點(diǎn)弦，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）求證y₁y₂=-p²，x₁x₂=；
（2）若弦AB被焦點(diǎn)分成長為m，n的兩部分，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)斜式設(shè)出焦點(diǎn)弦的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去x，根據(jù)韋達(dá)定理可求得y₁y₂同理可求得x₁x₂原式得證．
（2）假設(shè)直線斜率存在，則可設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去y可求得x₁+x₂，再根據(jù)拋物線的定義可求得m+n和mn，進(jìn)而可求得+==．再看當(dāng)斜率不存在時，也符合．綜合可推斷．
解答：證明（1）：因?yàn)閽佄锞�y²=2px的焦點(diǎn)為（，0）所以過焦點(diǎn)的弦為y=k（x-），即x=+
與y²=2px聯(lián)立有：
y²--p²=0
所以y₁y₂=-p²
同理可得x₁x₂=
原式得證．
（2）：①設(shè)AB：y=k（x-），直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去y得
得k²x²-（k²p+2p）x+=0．
∴x₁+x₂=．
又由拋物線定義可得
m+n=x₁+x₂+p==，
m•n=（x₁+）（x₂+）=，
∴+==．
②若k不存在，則AB方程為x=-，顯然符合本題．
綜合①②有．
點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)及拋物線與直線的關(guān)系．當(dāng)遇到拋物線焦點(diǎn)弦問題時，常根據(jù)焦點(diǎn)設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，把韋達(dá)定理和拋物線定義相結(jié)合解決問題．