Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，PE⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=ED=2AE=2，EB=3，F(xiàn)為PC上一點(diǎn)，且CF=2FP．
（1）求證：PA∥平面BEF；
（2）若二面角F-BE-C為60°，求直線(xiàn)PB與平面ABCD所成角的大�。�（用向量法解答）

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線(xiàn)與平面平行的判定

專(zhuān)題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連接AC交BE于點(diǎn)M，連接FM，證明FM∥AP，利用線(xiàn)面平行的判定定理，可得PA∥平面BEF；
（2）以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB，EA，EP所在直線(xiàn)為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)P（0，0，t），向量

PE

=（0，0，-t）即為平面BEC的法向量，設(shè)平面BEF的法向量為

n

=（x，y，z），由向量垂直的條件，得到方程，求得一個(gè)法向量，再由二面角與兩個(gè)法向量的夾角的關(guān)系，求出t，再由線(xiàn)面垂直，得到∠PBE即為直線(xiàn)PB與平面ABCD所成角，解直角三角形PBE即可．

解答： （1）證明：連接AC交BE于點(diǎn)M，連接FM．
由EM∥CD，∴

AM

MC

=

AE

ED

=

1

2

=

PF

FC

，
∴FM∥AP，
又∵FM?平面BEF，PA?平面BEF，
∴PA∥平面BEF；
（2）以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB，EA，EP所在直線(xiàn)為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)P（0，0，t），
由于PE⊥平面ABCD，則向量

PE

=（0，0，-t）即為平面BEC的法向量，
由于AD∥BC，AD⊥CD，BC=ED=2AE=2，EB=3，
則四邊形BCDE為矩形，B（3，0，0），C（3，-2，0），
由于F為PC上一點(diǎn)，且CF=2FP，則有F（1，-

2

3

，

2

3

t），
則

EF

=（1，-

2

3

，

2

3

t），

EB

=（3，0，0），
設(shè)平面BEF的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n

⊥

EF

即有

n

•

EF

=0，即x-

2

3

y+

2

3

zt=0，
又

n

•

EB

=0，即3x=0，則可取

n

=（0，1，

1

t

），
由二面角F-BE-C為60°，則

PE

與

n

的夾角為120°，
即有cos120°=

n • PE

| PE |•| n |

=

-1

t 1+ 1 t2

=-

1

2

，
解得，t=

3

．
即P（0，0，

3

）．PB=

9+3

=2

3

，
由于PE⊥平面ABCD，則∠PBE即為直線(xiàn)PB與平面ABCD所成角．
在直角三角形PBE中，cos∠PBE=

BE

PB

=

3

2 3

=

3

2

．
故直線(xiàn)PB與平面ABCD所成角為arccos

3

2

=

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)和平面平行的判定定理，以及直線(xiàn)和平面垂直的性質(zhì)定理，考查空間二面角的求法以及線(xiàn)面角的求法：向量法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．