Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，其對角線交點為O，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

2

a．
（1）求證：面PAB⊥平面PDC；
（2）求點O到面PAB的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,平面與平面垂直的判定

專題：

分析：（1）先證明CD⊥平面PAD，所以CD⊥PA，再證明PA⊥PD，可得PA⊥面PDC，即可證明面PAB⊥平面PDC；
（2）證明PD⊥面PAB，可得點D到面PAB的距離為|PD|，即可求點O到面PAB的距離．

解答： （1）證明：因為面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，ABCD為正方形，
所以CD⊥AD，CD?平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
所以CD⊥PA，
又PA=PD=

2

2

AD，
所以△PAD是等腰直角三角形，且∠PAD=

π

2

，
即PA⊥PD，
因為CD∩PD=D，且CD、PD?面ABCD，
所以PA⊥面PDC，
又PA?面PAB，
所以面PAB⊥面PDC；
（2）解：因為PA=PD=

2

2

a，AD=a，所以PD⊥PA
因為面PAD⊥底面ABCD交線為AD，AB⊥AD，AB?面ABCD
所以AB⊥面PAD，所以有AB⊥PD，
因為PA∩AB=A，
所以PD⊥面PAB，即點D到面PAB的距離為|PD|
又因為O為線段BD的中點，所以點O到面PAB的距離為

|PD|

2

=

2

4

a．

點評：本題考查面面垂直，考查線面垂直，考查點到平面距離，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運用面面垂直的判定定理是關(guān)鍵．