Question

層出不窮的食品安全問題，已經(jīng)極大地影響了公眾對于食品安全的信心，抓緊食品安全刻不容緩．假設(shè)某種品牌的食品在進入市場前必須要對四項指標(biāo)依次進行檢測，如果第一項檢測不合格則不能進入市場，則停止檢測；若第一項檢測合格，后三項中有兩項檢測不合格就不能進入市場，一旦檢測出該品牌的食品不能進入市場或者能進入市場都要停止檢測．已知每一項檢測是相互獨立的，第一項檢測合格的概率為

4

5

，其余三項每一項檢測合格的概率都為

2

3

．
（Ⅰ）求該品牌的食品不能進入市場的概率；
（Ⅱ）設(shè)停止檢測時所進行的檢測項數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）求出該品牌的食品能進入市場的概率，利用對立事件的概率公式，求出該品牌的食品不能進入市場的概率；
（Ⅱ）確定ξ的可能取值為1，2，3，求出相應(yīng)的概率，可得ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）記“該品牌的食品不能進入市場”為事件A，則

.

A

：該品牌的食品能進入市場，
∴P（A）=1-P（

.

A

）=1-

4

5

•[(

2

3

)3+

C

1 3

•

1

3

•(

2

3

)2]=1-

16

27

=

11

27

，
∴該品牌的食品不能進入市場的概率為

11

27

；
（Ⅱ）ξ的可能取值為1，3，4，則
P（ξ=1）=

1

5

，P（ξ=3）=

4

5

•(

1

3

•

1

3

+

2

3

•

2

3

)=

4

9

，P（ξ=4）=1-

1

5

-

4

9

=

16

45

故ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P（ξ）	1 5	4 9	16 45

ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=1×

1

5

+3×

4

9

+4×

16

45

=

133

45

．

點評：本題以實際問題為載體，考查概率的應(yīng)用，考查相互獨立事件的概率公式，屬于中檔題．