Question

【題目】已知：函數(shù)，.

（1）當時，求的值域；

（2）求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）[1，5]；（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意，a＝1時，f（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，由二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案；

（2）根據(jù)題意，f（x）＝x2﹣2ax+2＝（x﹣a）2+2﹣a2，是對稱軸為x＝a，且開口向上的二次函數(shù)；按a的取值范圍分3種情況討論即可得答案．

（1）根據(jù)題意，a＝1時，f（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，

又由，則x=1，函數(shù)有最小值1，當x=-1,函數(shù)有最大值5，故1≤f（x）≤5，

即函數(shù)的值域為[1，5]；

（2）根據(jù)題意，f（x）＝x2﹣2ax+2＝（x﹣a）2+2﹣a2，是對稱軸為x＝a，且開口向上的二次函數(shù)；

分3種情況討論：

當a＜-1時，f（x）在[-1，2]上為增函數(shù)，此時最大值為f（2）＝6-4a，

當-1≤a≤2時，此時最大值為f（a）＝2﹣a2，

當a＞2時，f（x）在[-1，2]上為減函數(shù)，此時最大值為f（-1）＝3+2a，