Question

已知橢圓的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，橢圓的離心率為且經(jīng)過點．M為橢圓上的動點，以M為圓心，MF₂為半徑作圓M．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若圓M與y軸有兩個交點，求點M橫坐標的取值范圍；
（3）是否存在定圓N，使得圓N與圓M相切？若存在．求出圓N的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的離心率為，可得a=2c，從而b²=a²-c²=3c²，故橢圓的標準方程可設(shè)為：，將點代入，即可求得橢圓的標準方程；
（2）設(shè)M（x，y）則半徑，圓心到y(tǒng)軸的距離d=|x|，根據(jù)圓M與y軸有兩個交點及M在橢圓上，即可確定點M橫坐標的取值范圍；
（3）存在定圓N：（x+1）²+y²=16，使得圓N與圓M相切，圓心N為橢圓的左焦點F₁，利用橢圓的定義，可知兩圓相內(nèi)切．
解答：解：（1）∵，∴a=2c，
∴b²=a²-c²=3c²
∴橢圓的標準方程可設(shè)為：
又∵過點，∴
∴c=1
∴橢圓的標準方程為：
（2）設(shè)M（x，y）則半徑，圓心到y(tǒng)軸的距離d=|x|
若圓M與y軸有兩個交點，則有r＞d，即有，化簡得，
∵M在橢圓上，∴，代入上不等式得解得：，
∵-2≤x≤2，
∴
（3）存在定圓N：（x+1）²+y²=16，使得圓N與圓M相切，圓心N為橢圓的左焦點F₁，
由橢圓的定義知，|MF₁|+|MF₂|=2a=4
∴|MF₁|=4-|MF₂|
∴兩圓相內(nèi)切．
點評：本題考查橢圓的標準方程與幾何性質(zhì)，考查圓與圓的位置關(guān)系，考查圓與橢圓知識的綜合，屬于中檔題．