Question

Rt△ABC的斜邊在平面α內(nèi)，直角頂點(diǎn)C是α外一點(diǎn)，AC、BC與α所成角分別為30°和45°．則平面ABC與α所成銳角為

60°

．

Answer 1

分析：過(guò)點(diǎn)C做CD垂直平面a，CE垂直AB，連接AD，BD，CE，DE，說(shuō)明平面ABC和平面a所成二面角為∠CED，根據(jù)AC、BC與α所成角分別為30°和45°求出AC，BC，結(jié)合直角三角形兩直角邊之積等于斜邊與斜邊上高，求出CE，然后求出平面ABC與α所成銳角．

解答：解：過(guò)點(diǎn)C做CD垂直平面α，CE垂直AB，連接AD，BD，CE，DE
設(shè)CD=h，如圖所示：
∴平面ABC和平面α所成二面角為∠CED，
∵AC、BC與α所成角分別為30°和45°，
易得∠CED=60°，∠CAD=45°
則AC=2h，BC=

2

h，
Rt△ABC的斜邊在平面α內(nèi)，∴AB=

6

h
∵BC•AC=AB•CE得：
CE=

2h× 2 h

6 h

=

2 3

3

h，
故sin∠CED=

h

2 3 3 h

=

3

2

．
故平面ABC與α所成銳角為∠CED=60°．
故答案為：60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，其中求出CE解答本題的關(guān)鍵．考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．