Question

已知冪函數(shù)f（x）=x-

1

2

p2+p+

3

2

（p∈Z）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且在其定義域內(nèi)是偶函數(shù)，求p的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)（x）．

Answer 1

分析：根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，由在（0，+∞）上是增函數(shù)可知，指數(shù)大于零，再由在其定義域內(nèi)是偶函數(shù)驗證求解．

解答：解：∵冪函數(shù)f（x）=x-

1

2

p2+p+

3

2

在（0，+∞）上是增函數(shù)，
所以-

1

2

p²+p+

3

2

＞0，
解得-1＜p＜3．
又由p∈Z，
所以p=0、1、2．
當p=0時，f（x）=x

3

2

，不是偶函數(shù)，不符合題意；
當p=1時，f（x）=x²，是偶函數(shù)，符合題意；
當p=2時，f（x）=x

3

2

，不是偶函數(shù)，不符合題意．
故p=1，對應(yīng)的函數(shù)為f（x）=x²．

點評：本題主要考查冪函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，關(guān)鍵是抓住在第一象限內(nèi)的圖象和性質(zhì)，相關(guān)的第二象限、第三象限可由奇偶性來推之．