(2013•河西區(qū)一模)若f(x)=
ax2+1,x≥0
(a2-1)eax,x<0
(a≠1),在定義域(-∞,+∞)上是單調(diào)函數(shù),則a的取值范圍是( 。
分析:當函數(shù)單調(diào)性是增函數(shù)時,相應(yīng)二次函數(shù)圖象為開口向上的拋物線且指數(shù)型函數(shù)的系數(shù)大于0,并且在x=0時,二次函數(shù)對應(yīng)的值大于或等于指數(shù)型函數(shù)對應(yīng)的值.由此建立關(guān)于a的方程組并解之,即可得到實數(shù)a的范圍,同樣的方法可得函數(shù)的單調(diào)性是減函數(shù)時實數(shù)a的取值范圍,最后綜合可得本題的答案.
解答:解:f(x)在定義域(-∞,+∞)上是單調(diào)函數(shù)時,
①函數(shù)的單調(diào)性是增函數(shù)時,可得當x=0時,(a2-1)eax≤ax2+1=1,
即a2-1≤1,解之得-
2
≤a≤
2

∵x≥0時,y=ax2+1是增函數(shù),∴a>0
又∵x<0時,(a2-1)eax是增函數(shù),∴a2-1>0,得a<-1或a>1
因此,實數(shù)a的取值范圍是:1<a<
2

②函數(shù)的單調(diào)性是減函數(shù)時,可得當x=0時,(a2-1)eax≥ax2+1=1,
即a2-1≤1,解之得a≤-
2
或a≥
2

∵x≥0時,y=ax2+1是減函數(shù),∴a<0
又∵x<0時,(a2-1)eax是增函數(shù),∴a2-1>0,得a<-1或a>1
因此,實數(shù)a的取值范圍是:a<-
2

綜上所述,得a∈(-∞,-
2
]∪(1,
2
]

故選:C
點評:本題以分段函數(shù)為例,求函數(shù)為單調(diào)函數(shù)時參數(shù)a的范圍,著重考查了二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間等知識,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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(2013•河西區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=x-xlnx,g(x)=f(x)-xf′(a),其中f′(a)表示函數(shù)f(x)在x=a處的導(dǎo)數(shù),a為正常數(shù).
(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)對任意的正實數(shù)x1,x2,且x1<x2,證明:(x2-x1)f′(x2)<f(x2)-f(x1)<(x2-x1)f′(x1);
(3)對任意的n∈N*,且n≥2,證明:
1
ln2
+
1
ln3
+…+
1
lnn
1-f(n+1)
ln2•lnn

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1
2
a3,2a2
成等差數(shù)列,則
a8+a9
a6+a7
等于( 。

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(2,
4
)
(2,
4
)

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x2
3
-y2=1
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