Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥AB，PA⊥AD，PA=AD=2AB，E為線段AD上的一點(diǎn)，且

AE

=λ

AD

．
（I）當(dāng)BE⊥PC時(shí)，求λ的值；
（II）求直線PB與平面PAC所成的角的大�。�

Answer 1

分析：（I）以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量，根據(jù)

PC

•

BE

=0，

AE

=λ

AD

，即可求得λ的值；
（II）確定面PAC的法向量為

BE

=(-1，

1

2

，0)，

BP

=(-1，0，2)，利用向量的夾角公式，即可求得直線PB與平面PAC所成的角．

解答：解：（I）以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=1，則PA=AD=2，
又設(shè)|AE|=y，則：

PC

=（1，2，-2），

BE

=(-1，y，0)
由

PC

•

BE

=0，可得-1+2y=0，∴y=

1

2

，
又∵

AE

=λ

AD

，∴

1

2

=2λ，
∴λ=

1

4

…．（6分）
（II）由（I）知面PAC的法向量為

BE

=(-1，

1

2

，0)
又因?yàn)?span id="1ieyolv" class="MathJye">

BP

=(-1，0，2)
設(shè)PB與面PAC所成的角為α，則：sinα=

| BE •  BP |

|BE |•| BP |

=

|1+ 1 2 ×0+0×2|

12+ 1 4 +0 • 12+0+4

=

2

5

，
∵α∈[0，

π

2

]
∴PB所求PB與面PAC所成的角的大小為：arcsin

2

5

…．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用空間向量解決立體幾何問題，考查線面角，解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，正確表示向量．