Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中點．
（1）求AC與PB所成的角余弦值；
（2）求二面角A-MC-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：由“PA⊥底面ABCD，且∠DAB=90°”可知，此題建立空間直角坐標(biāo)系相當(dāng)方便．以A為坐標(biāo)原點，AD長為單位長度，分別以AD、AB、AP為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點坐標(biāo)計算各題．
（1）利用余弦定理可知：．所以，AC與PB所成的角余弦值為．
（2）在MC上取一點N（x，y，z），要使AN⊥MC，只需，所以N點坐標(biāo)為，∠ANB為所求二面角A-MC-B的平面角，則，所以所求二面角的余弦值為．
另解：可以計算兩個平面的法向量分別為：平面AMC的法向量，平面BMC的法向量為，=，所求二面角A-MC-B的余弦值為-．
解答：證明：以A為坐標(biāo)原點AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點坐標(biāo)為．
（1）解：因，
故，
所以．
所以，AC與PB所成的角余弦值為．

（2）解：在MC上取一點N（x，y，z），則存在使，，∴．
要使AN⊥MC，只需即，解得．
可知當(dāng)時，N點坐標(biāo)為，能使．
此時，，有，
由得AN⊥MC，BN⊥MC．所以∠ANB為
所求二面角A-MC-B的平面角．∵．
∴．故所求的二面角的余弦值為．
點評：本小題考查空間中的異面直線所成的角、二面角、解三角形等基礎(chǔ)知識考查空間想象能力和思維能力．