數(shù)列{an}中,a3=1,a1+a2+…+an=an+1(n∈N*).
(Ⅰ)求a1,a2,a4,a5;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn;
(Ⅲ)設(shè)bn=log2Sn,存在數(shù)列{cn}使得cn•bn+3•bn+4=n(n+1)(n+2)Sn,試求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn
【答案】分析:(Ⅰ)依題意,可求得a1=a2;而a1+a2=a3=1,從而可求a1,a2,繼而可求得a4,a5
(Ⅱ)可求得2Sn=Sn+1,即{Sn}是首項(xiàng)為S1=a1=,公比為2的等比數(shù)列,從而可求得Sn=2n-2;
(Ⅲ)依題意,可求得cn=n•2n-2,利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn
解答:解:(Ⅰ)當(dāng)n=1時(shí),有a1=a2;當(dāng)n=2時(shí),有a1+a2=a3;…
∵a3=1,
∴a1=,a2=,a4=2,a5=4.…(4分)
(Ⅱ)∵Sn=an+1=Sn+1-Sn,…(6分)
∴2Sn=Sn+1
=2…(8分)
∴{Sn}是首項(xiàng)為S1=a1=,公比為2的等比數(shù)列.
∴Sn=•2n-1=2n-2…(10分)
(Ⅲ)由Sn=2n-2,得bn=n-2,
∴bn+3=n+1,bn+4=n+2,
∵cn•bn+3•bn+4=n(n+1)(n+2)Sn,
∴cn•(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)2n-2,
即cn=n•2n-2.  …(12分)
Tn=1×2-1+2×2+3×21+4×22+…+n•2n-2…①
則2Tn=1×2+2×21+3×22+…+(n-1)•2n-2+n•2n-1…②
②一①得
Tn=n•2n-1-2-1-2-21-…-2n-2=n•2n-1-=n•2n-1+.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的求和,考查等比數(shù)列的判定,突出考查錯(cuò)位相減法求和,考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與推理運(yùn)算能力,屬于難題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

數(shù)列{an}中,a3=2,a7=1,數(shù)列{
1an+1
}
是等差數(shù)列,則a11=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

數(shù)列{an}中,a3=2,a7=1,若{
1
an+1
}
為等差數(shù)列,則a11=( �。�
A、0
B、
1
2
C、
2
3
D、2

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數(shù)列{an}中,a3=2,a5=1,若數(shù)列{
1an+1
}
是等差數(shù)列,則a11=
0
0

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在數(shù)列{an}中,a3,a10是方程x2-3x-5=0的兩根,若{an}是等差數(shù)列,則a5+a8=
3
3

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已知無窮等差數(shù)列{an},前n項(xiàng)和Sn中,S6<S7,且S7>S8,則( �。�

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