Question

平面內(nèi)動點P（x，y）與兩定點A（-2，0），B（2，0）連級的斜率之積等于-

1

3

，若點P的軌跡為曲線E，過點（-1，0）作斜率不為零的直線BC交曲線E于點B、C．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）求證：AB⊥AC；
（Ⅲ）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)動點P坐標為（x，y），當(dāng)x≠±2時，由條件得：

y

x-2

•

y

x+2

=-

1

3

，化簡得曲線E的方程；
（Ⅱ）設(shè)BC方程與橢圓聯(lián)立，利用數(shù)量積為0，證明AB⊥AC；
（Ⅲ）△ABC面積為

1

2

|y1-y2|=

4m2+9

m2+3

=

4 m2+3 - 3 (m2+3)2

，即可求△ABC面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)動點P坐標為（x，y），當(dāng)x≠±2時，由條件得：

y

x-2

•

y

x+2

=-

1

3

，化簡得x²+3y²=4
曲線E的方程為，x²+3y²=4，（x≠±2）…（4分）
（Ⅱ）證明：BC斜率不為0，所以可設(shè)BC方程為my=x+1，
與橢圓聯(lián)立得：（m²+3）y²-2my-3=0，
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），所以y1+y2=

2m

m2+3

，y1y2=

-3

m2+3

．…（6分）
(x1+2，y1)•(x2+2，y2)=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=

-3(m2+1)

m2+3

+

2m2

m2+3

+1=0，
所以AB⊥AC…（8分）
（Ⅲ）△ABC面積為

1

2

|y1-y2|=

4m2+9

m2+3

=

4 m2+3 - 3 (m2+3)2

，…（10分）
當(dāng)m=0時面積最大為1．…（12分）

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．