Question

如圖，在矩形中，，又⊥平面，．
（Ⅰ）若在邊上存在一點，使，
求的取值范圍；
（Ⅱ）當邊上存在唯一點，使時，
求二面角的余弦值．

Answer 1

解法1：（Ⅰ）如圖，連，由于PA⊥平面ABCD，則由PQ⊥QD，必有．
……2分
設，則，
在中，有．
在中，有．   ……4分
在中，有．
即，即．
∴．
故的取值范圍為．                                      ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當，時，邊BC上存在唯一點Q（Q為BC邊的中點），使PQ⊥QD．                                                  
過Q作QM∥CD交AD于M，則QM⊥AD．
　　∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD．
　　過M作MN⊥PD于N，連結NQ，則QN⊥PD．
　　∴∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角．                          ……8分
在等腰直角三角形中，可求得，又，進而．
……10分
∴．
故二面角A－PD－Q的余弦值為．               ……12分

略