Question

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,已知，且對(duì)一切都成立．

（1）若λ=1，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求λ的值，使數(shù)列是等差數(shù)列．

 

Answer 1

（1）an = 2n?1（2）λ = 0.

【解析】

試題分析：（1）本題屬于“已知求”,利用化簡(jiǎn)關(guān)系式. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719110775811343/SYS201411171911181491135250_DA/SYS201411171911181491135250_DA.004.png">，所以先分離與，即，這是類等比，利用疊乘法得到，再利用，消去得.求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式時(shí)，需討論當(dāng)n = 1時(shí)是否滿足的情形.（2）解答本題需注意邏輯關(guān)系，由數(shù)列是等差數(shù)列得λ = 0，這是一個(gè)必要條件，還需驗(yàn)證其充分性，即λ = 0時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列.這可類似（1）的解答過(guò)程.

試題解析：【解析】
（1）若λ = 1，則，．

又∵， ∴， 2分

∴，

化簡(jiǎn)，得．①4分

∴當(dāng)時(shí)，．②

② ? ①，得，∴（）．6分

∵當(dāng)n = 1時(shí)， ，∴n = 1時(shí)上式也成立，

∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列， an = 2n?1（）．8分

（2）令n = 1，得．令n = 2，得． 10分

要使數(shù)列是等差數(shù)列，必須有，解得λ = 0． 11分

當(dāng)λ = 0時(shí)，，且．

當(dāng)n≥2時(shí)，，

整理，得，， 13分

從而，

化簡(jiǎn)，得，所以． 15分

綜上所述，（），

所以λ = 0時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列． 16分

考點(diǎn)：已知求