Question

已知圓N：（x+2）²+y²=8和拋物線C：y²=2x，圓的切線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，
（1）當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，求線段AB的長(zhǎng)；
（2）設(shè)點(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，問(wèn)是否存在直線l使得？若存在⊥，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）圓N的圓心N為（-2，0），半徑，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)l的方程，利用直線l是圓N的切線，求得m的值，從而可得直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，即可計(jì)算弦長(zhǎng)|AB|；
（2）設(shè)直線l的方程，利用直線l是圓N的切線，可得直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用，可得m的值，從而可得直線l的方程；當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)不成立．
解答：解：因?yàn)閳AN：（x+2）²+y²=8，所以圓心N為（-2，0），半徑，…（1分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（1）當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，設(shè)l的方程為y=x+m即x-y+m=0
因?yàn)橹本�l是圓N的切線，所以，解得m=-2或m=6（舍），此時(shí)直線l的方程為y=x-2，…（3分）
由消去x得y²-2y-4=0，
所以△＞0，y₁+y₂=2，y₁y₂=4，…（4分）
所以
所以弦長(zhǎng)…（6分）
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m即kx-y+m=0（k≠0）
因?yàn)橹本�l是圓N的切線，所以，得m²-4k²-4mk-8=0…①…（8分）
由消去x得 ky²-2y+2m=0，
所以△=4-4k×2m＞0即且k≠0，，．
因?yàn)辄c(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)M為（0，-2）
所以，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024191447822394994/SYS201310241914478223949021_DA/15.png">，所以=x₁x₂+（y₁+2）（y₂+2）=0…（10分）
將A，B在直線y=kx+m上代入化簡(jiǎn)得
代入，得
化簡(jiǎn)得 m²+4k²+2mk+4k=0…②
①+②得 2m²-2mk+4k-8=0，即（m-2）（m-k+2）=0，解得m=2或m=k-2
當(dāng)m=2時(shí)，代入①解得k=-1，滿(mǎn)足條件且k≠0，此時(shí)直線l的方程為y=-x+2；
當(dāng)m=k-2時(shí)，代入①整理得 7k²-4k+4=0，無(wú)解．…（12分）
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，因?yàn)橹本�l是圓N的切線，所以l的方程為，
則得，y₁+y₂=0，即
由①得：=x₁x₂+（y₁+2）（y₂+2）
=
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)不成立．
綜上所述，存在滿(mǎn)足條件的直線l，其方程為y=-x+2…（14分）
另解：
（2）設(shè)直線l的方程為x=my+a即x-my-a=0（m必存在）
因?yàn)橹本�l是圓N的切線，所以，得a²+4a-8m²-4=0…①…（8分）
由消去x得 y²-2my-2a=0，
所以△=4m²+8a＞0即m²+2a＞0，y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2a．…（10分）
因?yàn)辄c(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)M為（0，-2）
所以，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024191447822394994/SYS201310241914478223949021_DA/33.png">，所以=x₁x₂+（y₁+2）（y₂+2）=0
將A，B在直線x=my+a上代入化簡(jiǎn)得…（12分）
代入y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2a得（1+m²）（-2a）+（am+2）（2m）+a²+4=0
化簡(jiǎn)得 a-2a+4m+4=0…②
①+②得 2a²+2a-8m²+4m=0，即（a+2m）（a-2m+1）=0，解得a=-2m或a=2m-1
當(dāng)a=-2m時(shí)，代入①解得m=-1，a=2，滿(mǎn)足條件m²+2a＞0；
當(dāng)a=2m-1時(shí)，代入①整理得 4m²-4m+7=0，無(wú)解．
綜上所述，存在滿(mǎn)足條件的直線l，其方程為y=-x+2…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，正確運(yùn)用韋達(dá)定理．