已知是橢圓E：的兩個焦點，拋物線的焦點為橢圓E的一個焦點，直線y＝上到焦點F1，F(xiàn)2距離之和最小的點P恰好在橢圓E上，
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）如圖，過點的動直線交橢圓于A、B兩點，是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由。

（Ⅰ）橢圓方程為；（Ⅱ）存在定點M，使以為直徑的圓恒過這個定點．

解析試題分析：（Ⅰ）求橢圓E的方程，可用待定系數(shù)法求方程，因為拋物線的焦點為，故可得橢圓E：的兩個焦點，即，由題意直線y＝上到焦點F1，F(xiàn)2距離之和最小，可用對稱法求最小值，即求出點關于直線的對稱點為最小值為，此時的點P恰好在橢圓E上，故，可得，從而得，這樣就得橢圓E的方程；（Ⅱ）這是探索性命題，可假設存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點，此時當AB軸時，以AB為直徑的圓的方程為：，當AB軸時，以AB為直徑的圓的方程為：，解得兩圓公共點．因此所求的點如果存在，只能是．由此能夠導出以AB為直徑的圓恒過定點M．
試題解析：（Ⅰ）由拋物線的焦點可得：，
點關于直線的對稱點為
故，
因此，橢圓方程為。（4分）
（Ⅱ）假設存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點。
當AB軸時，以AB為直徑的圓的方程為： …………… ①
當AB軸時，以AB為直徑的圓的方程為： …………②
由①②知定點M。（6分）
下證：以AB為直徑的圓恒過定點M。
設直線，代入，有。
設，則。  
則，


在軸上存在定點M，使以為直徑的圓恒過這個定點。（14分）
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；圓錐曲線的共同特征．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知動直線與橢圓交于、兩不同點，且△的面積=，其中為坐標原點.
（1）證明和均為定值；
（2）設線段的中點為，求的最大值；
（3）橢圓上是否存在點，使得？若存在，判斷△的形狀；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線C:,定點M(0,5),直線與軸交于點F,O為原點,若以OM為直徑的圓恰好過與拋物線C的交點.
（1）求拋物線C的方程;
（2）過點M作直線交拋物線C于A,B兩點,連AF,BF延長交拋物線分別于,求證: 拋物線C分別過兩點的切線的交點Q在一條定直線上運動.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點分別為、，為原點.
（1）如圖1，點為橢圓上的一點，是的中點，且，求點到軸的距離；

（2）如圖2，直線與橢圓相交于、兩點，若在橢圓上存在點，使四邊形為平行四邊形，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知圓過定點，圓心在拋物線上，、為圓與軸的交點．
（1）當圓心是拋物線的頂點時，求拋物線準線被該圓截得的弦長．
（2）當圓心在拋物線上運動時，是否為一定值？請證明你的結論．
（3）當圓心在拋物線上運動時，記，，求的最大值，并求出此時圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓:的離心率為，過橢圓右焦點的直線與橢圓交于點（點在第一象限）.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知為橢圓的左頂點，平行于的直線與橢圓相交于兩點.判斷直線是否關于直線對稱，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：的兩個焦點是F1(c,0)，F(xiàn)2(c，0)(c>0)。
(I)若直線與橢圓C有公共點，求的取值范圍；
(II)設E是(I)中直線與橢圓的一個公共點，求|EF1|+|EF2|取得最小值時，橢圓的方程；
(III)已知斜率為k(k≠0)的直線l與(II)中橢圓交于不同的兩點A，B，點Q滿足   且，其中N為橢圓的下頂點，求直線l在y軸上截距的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（13分） 已知橢圓C的中心在原點，離心率等于，它的一個短軸端點點恰好是拋物線 的焦點。

（1）求橢圓C的方程；
（2）已知P（2,3）、Q（2，－3）是橢圓上的兩點，A,B是橢圓上位于直線ＰＱ兩側的動點，
①若直線ＡＢ的斜率為，求四邊形ＡＰＢＱ面積的最大值；
②當Ａ、B運動時，滿足＝，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，已知圓為圓上一動點，點是線段的垂直平分線與直線的交點．

（1）求點的軌跡曲線的方程；
（2）設點是曲線上任意一點，寫出曲線在點處的切線的方程；（不要求證明）
（3）直線過切點與直線垂直，點關于直線的對稱點為，證明：直線恒過一定點，并求定點的坐標．

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