Question

動點(diǎn)E在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC上，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，則二面角C₁-EF-C的余弦值的取值范圍是（　　）

• A、（0，

  6

  6

  ）
• B、（

  6

  6

  ，1）
• C、（0，

  7

  7

  ）
• D、（0，

  30

  6

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角C₁-EF-C的余弦值的取值范圍．

解答： 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，
設(shè)CE=t（0＜t＜2），
則F（0，1，0），C₁（0，2，2），E（t，2，0），

C1F

=（0，-1，-2），

C1E

=（t，0，-2），
由題意得平面EFC的法向量

m

=（0，0，1），
設(shè)平面C₁EF的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • C1F =-y-2z=0 n • C1E =tx-2z=0

，
t=0時，

n

=（1，0，0），cos＜

m

，

n

＞=0；
t=2時，

n

=（1，-2，1），cos＜

m

，

n

＞=

1

6

=

6

6

．
∴二面角C₁-EF-C的余弦值的取值范圍是（0，

6

6

）．
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查二面角的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．