Question

已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），又當(dāng)x＜0時，f（x）＞0，且f（1）=-3．
（1）求f（0）；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并運用單調(diào)性的定義證明；
（3）求函數(shù)f（x）在[-2，3]上的最大值．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）在題中所給函數(shù)關(guān)系式中取x=y=0，化簡即可計算出f（0）的值等于0；
（2）設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，根據(jù)題中運算法則化簡得f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），結(jié)合當(dāng)x＞0時f（x）＜0證出f（x₂-x₁）＜0，可得f（x₁）＞f（x₂），從而得到函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）是減函數(shù)；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性，即可求出函數(shù)f（x）在[-2，3]上的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）對任意實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）
∴f（0+0）=f（0）+f（0）…（1分）
∴f（0）=0…（2分）
（2）設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0…（3分）
∵x＜0時，f（x）＞0
∴f（x₁-x₂）＞0…（4分）
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]…（5分）=f（x₁-x₂）+f（x₂）
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）…（6分）
∴函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)                   …（7分）
（3）∵f（x）對任意實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）
∴f（x-x）=f（x）+f（-x），即f（x）+f（-x）=f（0）=0…（9分）
∴f（-x）=-f（x），即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)               …（10分）
∴f（-2）=-f（2）=-f（1+1）=-[f（1）+f（1）]=6…（12分）
∵由（2）知函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)
∴函數(shù)f（x）在[-2，3]上的最大值f（x）_max=f（-2）=6…（14分）

點評：本題給出抽象函數(shù)，求特殊的函數(shù)值、討論函數(shù)的單調(diào)，最值，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等知識，屬于中檔題．運用“賦值法”進行求值和化簡，是解決抽象函數(shù)問題的一般方法．