【題目】已知橢圓的離心率,右焦點,過點的直線交橢圓于兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若點關(guān)于軸的對稱點為 ,求證: 三點共線;
(3) 當面積最大時,求直線的方程.
【答案】(1) ;(2)見解析;(3) .
【解析】試題分析:(1)根據(jù)離心率可求得的值,從而可求得的值,進而可得結(jié)果;(2) 設(shè),只需用平面向量坐標法證明即可得結(jié)論;(3)設(shè)直線的方程為,根據(jù)韋達定理、弦長公式、三角形面積公式將面積表示為關(guān)于的函數(shù)式,換元后根據(jù)配方法求最值,取得最值時可以確定的值,進而可得結(jié)果.
試題解析:(1) 由, 橢圓的方程是.
(2)由(1)可得,設(shè)直線的方程為. 由方程組,得,依題意,
得.設(shè),則,由
,得三點共線.
(3)設(shè)直線的方程為. 由方程組,得,依題意,得.設(shè),則
,令,則,即
時, 最大, 最大時直線的方程為.
【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求最值,屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法:一是幾何意義,特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決,非常巧妙;二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法,本題(2)就是用的這種思路,利用配方法法求三角形最值的.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)與的圖象在點處有相同的切線.
(Ⅰ)若函數(shù)與的圖象有兩個交點,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個極值點, ,且,證明: .
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【題目】已知 ,且方程 無實數(shù)根,下列命題:
(1)方程 一定有實數(shù)根;
(2)若 ,則不等式 對一切實數(shù) 都成立;
(3)若 ,則必存在實數(shù) ,使 ;
(4)若 ,則不等式 對一切實數(shù) 都成立.
其中,正確命題的序號是________________.(把你認為正確的命題的所有序號都填上)
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【題目】祖暅(公元前5-6世紀),祖沖之之子,是我國齊梁時代的數(shù)學(xué)家. 他提出了一條原理:“冪勢既同,則積不容異. ”這句話的意思是:兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等,則這兩個幾何體的體積相等. 該原理在西方直到十七世紀才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利發(fā)現(xiàn),比祖暅晚一千一百多年. 橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體. 如圖將底面直徑皆為,高皆為的橢半球體及已被挖去了圓錐體的圓柱體放置于同一平面上. 以平行于平面的平面于距平面任意高處可橫截得到及兩截面,可以證明知總成立. 據(jù)此,短軸長為,長軸為的橢球體的體積是 __________.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)若,均有,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某電子公司開發(fā)一種智能手機的配件,每個配件的成本是15元,銷售價是20元,月平均銷售件,通過改進工藝,每個配件的成本不變,質(zhì)量和技術(shù)含金量提高,市場分析的結(jié)果表明,如果每個配件的銷售價提高的百分率為,那么月平均銷售量減少的百分率為,記改進工藝后電子公司銷售該配件的月平均利潤是(元).
(1)寫出與的函數(shù)關(guān)系式;
(2)改進工藝后,試確定該智能手機配件的售價,使電子公司銷售該配件的月平均利潤最大.
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【題目】祖暅是南北朝時代的偉大科學(xué)家,5世紀末提出體積計算原理,即祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”.意思是:夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體,被平行于這兩個平面的任何一個平面所截,如果截面面積都相等,那么這兩個幾何體的體積一定相等.現(xiàn)有以下四個幾何體:圖①是從圓柱中挖出一個圓錐所得的幾何體;圖②、圖③、圖④分別是圓錐、圓臺和半球,則滿足祖暅原理的兩個幾何體為( 。
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④
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【題目】一片成熟森林的總面積為 (近期內(nèi)不再種植),計劃每年砍伐一些樹,且每年砍伐面積的百分比相等,當砍伐到面積的一半時,所用時間是10年,為保護生態(tài)環(huán)境,森林面積至少要保留原面積的,已知到今年為止,森林剩余面積為原來的.
(1)求每年砍伐面積的百分比;
(2)到今年為止,該森林已砍伐了多少年?
(3)今后最多還能砍伐多少年?
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