Question

在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，∠C=90°，D，E分別為AC，AB邊上的點(diǎn)，且DE∥BC，沿DE將△ADE折起（記為△A₁DE），使二面角A₁-DE-B為直二面角．
（1）當(dāng)E點(diǎn)在何處時(shí)，A₁B的長(zhǎng)度最小，并求出最小值；
（2）當(dāng)A₁B的長(zhǎng)度最小時(shí)，求二面角A₁-BE-C的大�。�

Answer 1

解：（1）∵DE∥BC，∴CD⊥DE，A₁D⊥DE，∴∠CDA₁為二面角A₁-DE-B的平面角，，∴∠CDA₁=90°
設(shè)CD=x，AD=4-x，則A₁B²=BC²+CD²+DA₁²=2x²-8x+25=2（x-2）²+17
當(dāng)x=2時(shí)，即D為CA中點(diǎn)，此時(shí)EBA為中點(diǎn)時(shí)，AB有最小值
（2）過(guò)D 作DH⊥AE于H，∵A₁D⊥ABC 連接A₁H∴A₁H⊥AE
∴∠A₁HD是二面角A₁-BE-C的平面角
tan∠A₁HD===，∴∠A₁HD=arctan．
二面角A₁-BE-C的大小為．
分析：（1）由已知，，∠CDA₁為二面角A₁-DE-B的平面角，∠CDA₁=90°，設(shè)CD=x，表示出A₁B，建立函數(shù)關(guān)系，求函數(shù)的最值即可．
（2）過(guò)D 作DH⊥AE于H，則可得∠A₁HD是二面角A₁-BE-C的平面角，在直角△A₁HD中求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的定義、計(jì)算，空間距離的計(jì)算，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及建模解模的數(shù)學(xué)能力．