Question

（12分）（2011•陜西）敘述并證明余弦定理．

Answer 1

見解析

試題分析：先利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確敘述出余弦定理的內(nèi)容，并畫出圖形，寫出已知與求證，然后開始證明．
方法一：采用向量法證明，由a的平方等于的平方，利用向量的三角形法則，由﹣表示出，然后利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)后，即可得到a²=b²+c²﹣2bccosA，同理可證b²=c²+a²﹣2cacosB，c²=a²+b²﹣2abcosC；
方法二：采用坐標(biāo)法證明，方法是以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)C和點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出|BC|的平方，化簡(jiǎn)后即可得到a²=b²+c²﹣2bccosA，同理可證b²=c²+a²﹣2cacosB，c²=a²+b²﹣2abcosC．
解：余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩遍平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的兩倍；或在△ABC中，a，b，c為A，B，C的對(duì)邊，有a²=b²+c²﹣2bccosA，b²=c²+a²﹣2cacosB，c²=a²+b²﹣2abcosC．
證法一：如圖，
==
==b²﹣2bccosA+c²
即a²=b²+c²﹣2bccosA
同理可證b²=c²+a²﹣2cacosB，c²=a²+b²﹣2abcosC；
證法二：已知△ABC中A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，
則C（bcosA，bsinA），B（c，0），
∴a²=|BC|²=（bcosA﹣c）²+（bsinA）²=b²cos²A﹣2bccosA+c²+b²sin²A=b²+c²﹣2bccosA，
同理可證b²=a²+c²﹣2accosB，c²=a²+b²﹣2abcosC．


點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用向量法和坐標(biāo)法證明余弦定理，以及對(duì)命題形式出現(xiàn)的證明題，要寫出已知求證再進(jìn)行證明，是一道基礎(chǔ)題．