Question

已知x，y滿足約束條件

x-y+6≥0 x+y≥0 x≤3

，
（1）求z=2x-y的最小值；
（2）求z=

x2+y2+4x+2y+5

的最小值和最大值；
（3）求z=

x+y-5

x-4

的取值范．

Answer 1

分析：（1）畫出約束條件

x-y+6≥0 x+y≥0 x≤3

，表示的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求目標(biāo)函數(shù)z=2x-y的最小值．
（2）利用幾何意義求出可行域內(nèi)的點(diǎn)到（-2，-1）的距離即可．
（3）化簡表達(dá)式，利用幾何意義直線的斜率求解即可．

解答：解：（1）由z=2x-y，得y=2x-z，作出約束條件

x-y+6≥0 x+y≥0 x≤3

對應(yīng)的可行域（陰影部分），
平移直線y=2x-z，由平移可知當(dāng)直線y=2x-z，
經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，直線y=2x-z的截距最大，此時(shí)z取得最小值，
由

x-y+6=0 x+y=0

，解得

x=-3 y=3

，即C（-3，3）．
將C（-3，3）的坐標(biāo)代入z=2x-y，得z=-6-3=-9，
即目標(biāo)函數(shù)z=2x-y的最小值為-9．
（2）z=

x2+y2+4x+2y+5

=

(x+2)2+(y+1)2

，所求最值就是可行域內(nèi)的點(diǎn)到（-2，-1）的距離的最小值和最大值．
點(diǎn)M到直線x+y=0的距離：

|-2-1|

2

=

3 2

2

．所以最小值為：

3 2

2

．
最大值為：MA的距離：

(3+2)2+(9+1)2

=5

5

．
（3）z=

x+y-5

x-4

=1+

y-1

x-4

，所求z的取值范圍．就是P與可行域內(nèi)的點(diǎn)連線的斜率加1的范圍，
K_PN=

1+3

4-3

=4．K_PA=

9-1

3-4

=-8，
∴z的范圍是：[-7，5]．

點(diǎn)評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．