Question

設(shè)上的兩點(diǎn)，已知，，若且橢圓的離心率，短軸長(zhǎng)為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線AB過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F（0，c），（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的離心率的公式及橢圓中三個(gè)參數(shù)的關(guān)系：a²=b²+c²，列出方程求出參數(shù)a，b，c的值，代入橢圓方程即可．
（2）設(shè)出直線AB的方程，將直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，得到關(guān)于x的二次方程，利用韋達(dá)定理得到交點(diǎn)的橫坐標(biāo)間的關(guān)系；利用已知向量垂直其數(shù)量積為0得到兩個(gè)交點(diǎn)間的另外的等量關(guān)系，聯(lián)立求出k的值．
解答：解：（1）
橢圓的方程為
（2）由題意，設(shè)AB的方程為

由已知得：

=，
解得
點(diǎn)評(píng)：求圓錐曲線的方程時(shí)，一般利用待定系數(shù)法；解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，一般采用的方法是將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得到關(guān)于某個(gè)未知數(shù)的二次方程，利用韋達(dá)定理來(lái)找突破口．