Question

如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿直線方向以v海里/小時的速度勻速追趕漁船乙，用了t小時追上．
（1）試用t表示漁船甲的速度v，
（2）若要求t不超過2小時追上漁船乙，則速度v至少為多少？

Answer 1

考點：余弦定理,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：解三角形

分析：（1）利用余弦定理列出關(guān)系式，將AB，AC，BC，以及cos∠BAC的值代入表示出v即可；
（2）表示出的v變形后，根據(jù)t的范圍確定出v的最小值即可．

解答： 解：（1）依題意，∠BAC=120°，AB=12，AC=10t，BC=vt，
在△ABC中，由余弦定理，得BC²=AB²+AC²-2AB×AC×cos∠BAC，即（vt）²=12²+（10t）²-2×12×10t×cos120°，
整理得：v²t²=144+100t²+120t，
解得：v=

144 t2 + 120 t +100

（t＞0）；
（2）v=

144 t2 + 120 t +100

=

( 12 t +5)2+75

，
∵0＜t≤2，
∴當(dāng)t=2時，v=

( 12 2 +5)2+75

=14海里/小時，
答：漁船甲的速度至少為14海里/小時．

點評：此題考查了余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．