Question

（2013•安徽）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

（a＞b＞0）的焦距為4，且過點(diǎn)P（

2

，

3

）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）為橢圓C上一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作x軸的垂線，垂足為E．取點(diǎn)A（0，2

2

），連接AE，過點(diǎn)A作AE的垂線交x軸于點(diǎn)D．點(diǎn)G是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，作直線QG，問這樣作出的直線QG是否與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn)？并說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)橢圓的焦距為4，得到c=

a2-b2

=2，再由點(diǎn)P（

2

，

3

）在橢圓C上得到

2

a2

+

3

b2

=1，兩式聯(lián)解即可得到a²=8且b²=4，從而得到橢圓C的方程；
（II）由題意得E（x₀，0），設(shè)D的坐標(biāo)為（x_D，0），可得向量

AE

、

AD

的坐標(biāo)，根據(jù)AD⊥AE得

AD

•

AE

=0，從而算出x_D=-

8

x0

，因?yàn)辄c(diǎn)G是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，得到G（

8

x0

，0）．直線QG的斜率為k_QG=

x0y0

x02-8

，結(jié)合點(diǎn)Q是橢圓C上的點(diǎn)化簡(jiǎn)得k_QG=-

x0

2y0

，從而得到直線QG的方程為：y=-

x0

2y0

（x-

8

x0

），將此方程與橢圓C的方程聯(lián)解可得△=0，從而得到方程組有唯一解，即點(diǎn)Q是直線QG與橢圓C的唯一公共點(diǎn)，由此即得直線QG與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn)．

解答：解：（I）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

（a＞b＞0）的焦距為4，
∴c=2，可得

a2-b2

=2…①
又∵點(diǎn)P（

2

，

3

）在橢圓C上
∴

2

a2

+

3

b2

=1…②
聯(lián)解①②，可得a²=8且b²=4，橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（II）由題意，得E點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，0），
設(shè)D（x_D，0），可得

AE

=（x₀，-2

2

），

AD

=（x_D，-2

2

），
∵AD⊥AE，可得

AD

•

AE

=0
∴x₀x_D+（-2

2

）•（-2

2

）=0，即x₀x_D+8=0，得x_D=-

8

x0

∵點(diǎn)G是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（

8

x0

，0）
因此，直線QG的斜率為k_QG=

y0

x0- 8 x0

=

x0y0

x02-8

又∵點(diǎn)Q（x₀，y₀）在橢圓C上，可得x02+2y02=8
∴k_QG=

x0y0

-2y02

=-

x0

2y0

由此可得直線QG的方程為：y=-

x0

2y0

（x-

8

x0

），
代入橢圓C方程，化簡(jiǎn)得（x02+2y02）x²-16x₀x+64-16y02=0
將x02+2y02=8和8-2y02=x 02代入上式，得8x²-16x₀x+8x02=0，
化簡(jiǎn)得x²-2x₀x+x02=0，所以△=(2x02)-4x02=0，
從而可得x=x₀，y=y₀是方程組的唯一解，即點(diǎn)Q是直線QG與橢圓C的唯一公共點(diǎn)．
綜上所述，可得直線QG與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓的焦距和橢圓上的點(diǎn)P的坐標(biāo)，求橢圓的方程并由此討論直線QG與橢圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和直線與圓錐曲線位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．