【題目】已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為、，，點(diǎn)在橢圓上，且的周長為

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，不過原點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，點(diǎn)到直線的距離為，且，，三點(diǎn)共線，求的最大值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)焦距和焦點(diǎn)三角形周長可求得，利用求得，從而可得橢圓的方程；（Ⅱ）當(dāng)直線斜率不存在時，可判斷出，，三點(diǎn)不共線，不符合題意；所以可假設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出和；由三點(diǎn)共線得到斜率相等關(guān)系，從而可求得；利用弦長公式和點(diǎn)到直線距離公式求得和，代入可整理出：，可知當(dāng)時取最大值.

（Ⅰ）由題意得：，

解得：，

橢圓的方程為

（Ⅱ）設(shè)，

當(dāng)直線與軸垂直時，由橢圓的對稱性可知，點(diǎn)在軸上，且與點(diǎn)不重合

顯然，，三點(diǎn)不共線，不符合題設(shè)條件

故可設(shè)直線的方程

由，消去整理得：……①

則

， 點(diǎn)的坐標(biāo)為

，，三點(diǎn)共線

此時方程①為：，則

則，

又

當(dāng)時，的最大值為

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（1）求曲線與直線的直角坐標(biāo)方程.

（2）直線與軸的交點(diǎn)為，與曲線的交點(diǎn)為，，求的值.

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年齡

（單位：歲）

，

，

，

，

，

，

頻數(shù)

5

10

15

10

5

5

贊成人數(shù)

5

10

12

7

2

1

（Ⅰ）若以“年齡45歲為分界點(diǎn)”，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“使用微信支付”的態(tài)度與人的年齡有關(guān)；

年齡不低于45歲的人數(shù)

年齡低于45歲的人數(shù)

合計

贊成

不贊成

合計

（Ⅱ）若從年齡在的被調(diào)查人中按照贊成與不贊成分層抽樣，抽取5人進(jìn)行追蹤調(diào)查，在5人中抽取3人做專訪，求3人中不贊成使用微信支付的人數(shù)的分布列和期望值.

參考數(shù)據(jù)：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

，其中.

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（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2） 設(shè)是橢圓上異于， 的任意一點(diǎn)，連接并延長交直線于點(diǎn)， 點(diǎn)為的中點(diǎn)，試判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

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（1）完成表格，并判斷是否有90%以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)”；

甲班

乙班

總計

大于等于80分的人數(shù)

小于80分的人數(shù)

總計

（2）從乙班分?jǐn)?shù)段中，按分層抽樣隨機(jī)抽取7名學(xué)生座談，從中選三位同學(xué)發(fā)言，記來自發(fā)言的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和期望.附:，

0.10

0.05

0.025

2.706

3.841

5.024

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