Question

對(duì)于雙曲線，定義為其伴隨曲線，記雙曲線的左、右頂點(diǎn)為、.

（1）當(dāng)時(shí)，記雙曲線的半焦距為，其伴隨橢圓的半焦距為，若，求雙曲線的漸近線方程；

（2）若雙曲線的方程為，弦軸，記直線與直線的交點(diǎn)為，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（3）過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，且斜率為的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，求證：對(duì)任意的，在伴隨曲線上總存在點(diǎn)，使得.

Answer 1

（1）∵，

由，得，即可得

∴的漸近線方程為

（2）設(shè)，，又、，

∴直線的方程為…………①

直線的方程為…………②

由①②得∵ 在雙曲線上∴，∴

（3）證明：點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，

設(shè)、的坐標(biāo)分別為、

則由得，

即，當(dāng)時(shí)，

∵

∴，

，由 知 ，

∴

∵雙曲線的伴隨曲線是圓，圓上任意一點(diǎn)到的距離，∴

∵ ∴對(duì)任意的，在伴隨曲線上總存在點(diǎn)，使得