Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=

1

2

，點(diǎn)（2a_n+1-a_n，2）在直線y=x+1上，其中n=1，2，3…
（1）求證：{a_n-1}為等比數(shù)列并求出{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且b₁=1，S_n=

n+1

2

b_n，令c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件2a_n+1-a_n+1=2，從而2（a_n+1-1）=a_n-1，由此能證明{a_n-1}是以

1

2

為公比的等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1-1=-

1

2

，從而得到a_n=-（

1

2

）ⁿ+1．
（2）S_n=

n+1

2

bn，Sn-1=

n

2

bn-1，兩式作差，得

bn

bn-1

=

n

n-1

，利用累加法能求出b_n=n，c_n=a_n•b_n=[-（

1

2

）ⁿ+1]•n=-（

1

2

）ⁿ•n+n，由此利用分組求和法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}中，a₁=

1

2

，點(diǎn)（2a_n+1-a_n，2）在直線y=x+1上，
∴2a_n+1-a_n+1=2，
∴2（a_n+1-1）=a_n-1，
∴

an+1-1

an-1

=

1

2

，
∴{a_n-1}是以

1

2

為公比的等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1-1=-

1

2

，
∴a_n=-（

1

2

）ⁿ+1．
（2）解：S_n=

n+1

2

bn，Sn-1=

n

2

bn-1，
兩式作差，S_n-S_n-1=

n+1

2

b_n-

n

2

bn-1，
整理，得

bn

bn-1

=

n

n-1

，
∴

bn

bn-1

×

bn-1

bn-2

×…×

b2

b1

=

n

n-1

×

n-1

n-2

×…×

2

1

，

bn

b1

=n，b1=1，∴b_n=n，
∵c_n=a_n•b_n，
∴c_n=[-（

1

2

）ⁿ+1]•n=-（

1

2

）ⁿ•n+n，
令dn=-n•(

1

2

)n，其和為R_n，
Rn=-1×

1

2

-2×(

1

2

)2-3×(

1

2

)3-…-n×(

1

2

)n，①

1

2

Rn=-1×(

1

2

)2-2×(

1

2

)3-3×(

1

2

)4-…-n×(

1

2

)n+1，
錯項(xiàng)相減后

1

2

Rn=-（

1

2

）-（

1

2

）²-（

1

2

）³-…-（

1

2

）ⁿ+n（

1

2

）ⁿ⁺¹
=-

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

+n(

1

2

)n+1
=(

1

2

)n-1+n(

1

2

)n+1，
∴Rn=(2+n)(

1

2

)n-2，
∴T_n=R_n+

n(n+1)

2

=（2+n）•（

1

2

）ⁿ+

n(n+1)

2

-2．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運(yùn)用．