(Ⅰ)設a,b,c∈(0,+∞),求證:
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
≥a+b+c;
(Ⅱ)已知a+b=1,對?a,b∈(0,+∞),
1
a
+
4
b
≥|2x-1|-|x+1|恒成立,求x的取值范圍.
考點:綜合法與分析法(選修),函數(shù)恒成立問題
專題:證明題,綜合題,不等式的解法及應用
分析:(Ⅰ)a>0,b>0,c>0,利用基本不等式,可得
a2
b
+b≥2a,同理
b2
c
+b≥2b,
c2
a
+a≥2c,三式累加即可證得結論成立;
(Ⅱ)利用基本不等式可求得
1
a
+
4
b
=(a+b)(
1
a
+
4
b
)=5+
b
a
+
4a
b
≥9,于是
1
a
+
4
b
≥|2x-1|-|x+1|恒成立?|2x-1|-|x+1|≤9恒成立,通過對x范圍的分類討論,去掉絕對值符號后解之,即可求得x的取值范圍.
解答: 解:(Ⅰ)∵a,b,c∈(0,+∞),
∴a2+b2≥2ab,
a2
b
+b≥2a,同理
b2
c
+b≥2b,
c2
a
+a≥2c,
相加得
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
+a+b+c≥2a+2b+2c,
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
≥a+b+c;
(Ⅱ)∵a>0,b>0 且a+b=1,
1
a
+
4
b
=(a+b)(
1
a
+
4
b
)=5+
b
a
+
4a
b
≥9,
1
a
+
4
b
的最小值為9.               
∵對?a,b∈(0,+∞),
1
a
+
4
b
≥|2x-1|-|x+1|恒成立,
∴|2x-1|-|x+1|≤9.
∴當x≤-1時,2-x≤9,解得:x≥-7,
∴-7≤x≤-1;
當-1<x<
1
2
時,-3x≤9,解得:x≥-3,
∴-1<x<
1
2

當x≥
1
2
時,x-2≤9,解得:x≤11,
1
2
≤x≤11;
綜上所述,x的取值范圍為:-7≤x≤11.
點評:本題考查基本不等式的應用,突出考查綜合法證明不等式,考查轉化思想與推理論證的能力,考查分類討論思想與恒成立問題,屬于難題.
練習冊系列答案
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下列說法錯誤的是( 。
A、xy≠10是x≠5或y≠2的充分不必要條件
B、若命題p:?x∈R,x2+x+1≠0,則¬p:?x∈R,x2+x+1=0
C、線性相關系數(shù)r的絕對值越接近1,表示兩變量的相關性越強.
D、用頻率分布直方圖估計平均數(shù),可以用每個小矩形的高乘以底邊中點橫坐標之后加和

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在罐中有n個白球,m個黑球及1個紅球,每次取一個,每次取出后再放回罐子中,依次進行,求取出白球比黑球早的概率.

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已知拋物線y2=2x,求斜率為k的直線截拋物線的弦的中點的軌跡方程.

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對一批共50件的某電器進行分類檢測,其重量(克)統(tǒng)計如下:
質量段 [80,85) [85,90) [90,95) [95,100]
件數(shù) 5 a 15 b
規(guī)定重量在82克及以下的為“A”型,重量在85克及以上的為“B”型,已知該批電器有“A“型2件
(Ⅰ)從該批電器中任選1件,求其為“B“型的概率;
(Ⅱ)從重量在[80,85)的5件電器中,任選2件,求其中恰有1件為“A”型的概率.

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2013年6月“神舟”發(fā)射成功.這次發(fā)射過程共有四個值得關注的環(huán)節(jié),即發(fā)射、實驗、授課、返回.據(jù)統(tǒng)計,由于時間關系,某班每位同學收看這四個環(huán)節(jié)的直播的概率分別為
3
4
、
1
3
1
2
、
2
3
,并且各個環(huán)節(jié)的直播收看互不影響.
(Ⅰ)現(xiàn)有該班甲、乙、丙三名同學,求這3名同學至少有2名同學收看發(fā)射直播的概率;
(Ⅱ)若用X表示該班某一位同學收看的環(huán)節(jié)數(shù),求X的分布列與期望.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)=x2+bx+c,不等式f(x)<0的解集是(0,5),
(Ⅰ) 求f(x)的解析式;
(Ⅱ) 若對于任意x∈[-1,1],不等式f(x)+t≤2恒成立,求t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某校高一年級60名學生參加數(shù)學競賽,成績全部在40分至100分之間,現(xiàn)將成績分成以下6段:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求成績在區(qū)間[80,90)的頻率;
(2)從成績大于等于80分的學生中隨機選3名學生,其中成績在[90,100]內的學生人數(shù)為ξ,求ξ的分布列與均值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球,命中率分別為
1
2
與p,甲乙各投球一次,甲命中或乙命中的概率為
7
8

(1)求乙投球的命中率p;
(2)若甲、乙兩人各投球2次,求兩人共命中次數(shù)ξ的分布列與期望.

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